丘成桐：數學的萬有引力

1969 年聖誕假期，我在加州大學伯克利分校圖書館的坎貝爾廳（Campbell Hall），開啓了數學研究之旅。當時，我讀到一篇約翰·米爾諾（John Milnor）寫的論文，開始對黎曼流形的曲率與其基本羣之間的相互作用感興趣，着迷於流形的拓撲結構與其曲率之間的關係。

拓撲是流形的一種非常基本的結構，表面上與定義在其上的度量無關。然而，幾何中的定理卻表明並非如此。當我在一間狹小的複印室裡撰寫題爲“關於具有非正曲率緊流形的基本羣（

儘管我對他堅持要閱讀我的論文不太樂意，但費舍爾的那番話卻在我腦海中縈繞許久揮之不去。幾何、拓撲和物理必須被視爲一個統一的主題來對待。但對我來說，幾何纔是推動力，這一定程度上基於當時的我對物理的無知、對拓撲學的相對無知。

當然，幾何是一門如此美妙的學科，我無法抗拒繼續探索其內在結構的誘惑。有許多美妙的幾何現象有待研究，我認爲，理解幾何學的關鍵在於曲率這一概念。廣義相對論恰恰是幾何與物理之間的一個重要橋樑，在廣義相對論中，裡奇（Ricci）曲率的概念被視爲等同於時空中物質的分佈。

因此，我大量的工作都與裡奇曲率和數量曲率有關，數量曲率是裡奇曲率的跡。

在伯克利讀書時，我對與拓撲和物理有關的時空幾何結構產生了濃厚的興趣。有一天，我突然意識到，理解幾何結構最透徹的方法就是弄明白如何從零開始構建幾何結構。

這裡的“從零開始”意味着：從一個拓撲空間開始，我們在拓撲空間上構建一個度量結構使得它的曲率滿足一定的條件。一個最重要的例子就是找出什麼樣的拓撲能支持一個愛因斯坦結構，這意味着一個度量滿足愛因斯坦方程：

從這個角度看，理解幾何、拓撲和理論物理的關鍵是流形上的分析和偏微分方程。缺乏對這種分析的深刻理解，一切都會變得表面化。我的這一觀點也得到了多位傑出學者朋友的認同，其中不乏邵逸夫獎獲得者。我們共同發展出的這個學科被稱爲幾何分析。

我的第一個任務是研究定義在流形上的函數。基本的哲學是，由流形的幾何定義的函數類可能決定幾何結構本身。有時，由於流形的拓撲，流形上可能沒有足夠的函數，我們則尋找扭函數（線叢的截面）。

這類函數的第一個重要類別是由拉普拉斯算子定義的調和函數和特徵函數。當我們在歐幾里得空間中研究極小曲面時，座標函數是調和的。當我們在球面中研究極小曲面時，座標函數是特徵函數。因此，這些函數與幾何密切相關。

我的第一個重要貢獻是給出了定義在裡奇曲率有下界的完備流形上的調和函數的一個好的梯度估計。我和鄭紹遠（S.-Y. Cheng）運用我發展的這個方法處理了幾個有趣的幾何問題，例如更高維的閔可夫斯基問題，閔可夫斯基時空中極大類空超曲面的伯恩斯坦型定理，以及實蒙日-安培方程（與仿射球面的分類有關）。

我與李偉光（Peter Li）隨後將這一理論推廣到估計拉普拉斯算子的特徵值這一問題。我們設法根據裡奇曲率的下界和直徑的上界來估計特徵值。與這些問題密切相關的是理解流形的熱核，這是理解流形上拋物方程的關鍵。我和李偉光對這類方程進行了深入分析，併合作完成一篇關於拋物方程的哈納克（Harnack）不等式的重要論文。

根據我的建議，理查德·漢密爾頓（Richard Hamilton）將我們的工作推廣到裡奇流，這一推廣非常了不起，它成爲了理解裡奇流奇點的基本工具。佩雷爾曼（Grigori Perelman）進一步發展了這一理論，成爲研究龐加萊猜想的基本工具。

我對幾何分析的第二個貢獻是極小曲面理論。我從合作者那裡學到了很多，他們是：萊昂·西蒙（Leon Simon）、孫理察（Richard Schoen）、凱倫·烏倫貝克（Karen Uhlenbeck）和威廉·米克斯（William Meeks）。

這是一個美妙的課題，可以追溯到第一位菲爾茲獎得主傑西·道格拉斯（Jesse Douglas）甚至更早的研究。我的老師查爾斯·莫里（Charles Morrey）於 1949 年爲二維極小曲面做了一些基礎性工作。在道格拉斯-拉多（Douglas-Radó）和莫里的基礎工作之後，又有了薩克斯-烏倫貝克（Sacks- Uhlenbeck）、米克斯-丘（Meeks-Yau）和米克斯-西蒙-丘（Meeks-Simon-Yau）的研究。

最後的結果表明，在相當一般的情形下，面積最小的圓盤或面積最小的球面是嵌入的。大約十年的時間裡，這成爲研究三維流形拓撲的重要工具，並與瑟斯頓（William Paul Thurston）和戈登（Cameron Gordon）的工作相結合，解決了著名的“史密斯猜想”，該猜想聲稱三維球面的有限對稱性是線性的。孫理察和我利用某種類型的極小曲面的存在性來解決廣義相對論中的正質量猜想。這個猜想在廣義相對論的理論中展示了（孤立的物理）時空的穩定性。在證明過程中，我們引入了幾個概念：

利用極小曲面的方法來理解時空的拓撲結構，特別是，它引發了對具有正數量曲率的流形的拓撲結構的研究。我們引入了幾何手術（geometric surgery）的概念，這允許我們對此類流形的拓撲研究約化爲研究自旋配邊（spin cobordism，格羅莫夫-勞森（Gromov-Lawson）隨後發現的觀察結果）。

通過我們稱之爲 Jang 方程的方法，來理解黑洞的形成。事實上，我們第一個證明了，當物質密度足夠大時（這個證明與物質狀態無關）必存在黑洞。人們常常理所當然的認爲，我們這個敘述是顯而易見的，類似報道廣泛見於各類媒體。但是直到 80 年代，幾乎沒有任何天文學家認爲黑洞存在。媒體似乎都忽視了，這是廣義相對論得出來的重要結論，必須要從廣義相對論的第一原則出發來驗證這一概念。

我在普林斯頓高等研究院就這項工作舉辦了一個討論班。幾位優秀的博士後，包括安迪·斯特魯明格（Andy Strominger）、加里·霍洛維茨（Gary Horowitz）以及德梅特里奧斯·克里斯托多羅（Demetrios Christodoulou）都對這項工作很感興趣。克里斯托多羅告訴我，他的論文導師約翰·惠勒（John Wheeler）建議他研究這個問題。三十年後，他成功完成了一篇關於引力波碰撞如何產生黑洞的精彩論文。

最近，包括羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）在內的幾位學者憑藉引力輻射波和黑洞陰影的發現獲得諾貝爾獎。彭羅斯引入了一個我們都使用的基本概念，即閉俘獲面（closed trapped surface）。在有關黑洞的討論中，我很高興邵逸夫獎提到了我和孫理察有關黑洞存在機制的工作。

對於任何半徑爲 的空間 ，只要

物 質 密 度

則 中必須包含一個黑洞。

理察一直是我最好的朋友和搭檔，我從他那裡學到了很多，我真心感激我們幾十年來的合作。

研究之外，我們一起培養和訓練學生，他的許多學生已經將幾何分析這個課題推進得比我們之前完成的要深入得多。幾何分析這門學科仍在迅速發展，不斷爲數學的許多不同分支做出貢獻。

剛離開研究院時，我們開啓了幾何分析的新時代，令人欣慰的是，它已經逐漸成長爲擁有許多分支的大樹，並且解決了不少重大問題。

我仍然記得和理察一起完成正質量猜想論文的那段美好時光。那是 1979 年夏天的帕洛阿託（Palo Alto），我們住在 Doris 朋友位於洛思阿圖斯（Los Altos）的大房子裡。白天我們努力工作，晚飯後，就在游泳池裡游泳。那是一種理想的研究生活，當時我們都很年輕。遺憾的是，後來我到了哈佛，孫理察留在加州，我們見面的次數變少了。

在哈佛期間，我受到了物理系許多同事的很多影響，花費了不少功夫研究弦理論和代數幾何的相關問題。我還成爲了物理系的一員，這令我十分自豪。物理學家往往會提出令數學家倍感新奇的新概念，反之亦然。這着實令人着迷。

物理學家喜歡迅速跨步前進，希望早日達成目標，但他們卻很少能夠給出讓數學家們信服的證明，量子場理論中的許多觀點尤其如此。

最令人驚訝的是，一旦優秀物理學家的陳述被轉化爲數學語言，數學家們能夠對這些陳述中的大部分提供證明。

這驗證了他們的物理直覺，說明他們的理論離真相併不遙遠。這一點很重要，因爲弦理論中的許多陳述遠遠超出了當前的實驗能力和水平。

1976 年，我證明了卡拉比猜想，我認爲這是構造愛因斯坦方程解的一種方法：

卡拉比猜想的證明解決了許多代數幾何這一領域中多年來懸而未決的重要問題。數學界爲之一振，它的證明也被視作是現代幾何分析的開端。

當時, 我專注於完善卡拉比猜想在各種情況下的表述，包括非緊流形和奇異流形。其中的一些成果在赫爾辛基舉辦的國際數學家大會上公佈。1979 年，我應邀組織普林斯頓高等研究院的幾何特別年。我邀請了一些物理學家參加，其中大多數是斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）的學生。

彼時，卡拉比猜想已經廣爲人知。許多人想構造真空愛因斯坦方程的顯式解，這些解是由卡拉比猜想所暗示的。吉本斯（Gary Gibbons）和霍金使用所謂的“威克旋轉（Wick Rotation）”找到了這樣的度量。卡拉比構建了一個公式來提供顯式解。遺憾的是，他們只能得出這種流形的非緊版本。

我開始對如何在物理中運用這些緊裡奇平坦流形產生了興趣。1980 年，我成爲了普林斯頓高等研究院的教授。那裡有一大批優秀的年輕博士後，包括安迪·施特羅明格（Andy Strominger）、加里·霍洛維茨（Gary Horowitz）和馬爾科姆·佩裡（Malcom Perry）。霍洛維茨是我的助手，他告訴我有位來自麻省理工學院的傑出年輕人，叫安迪·施特羅明格，非常瞭解超引力，如果能從他那裡學到更多關於超對稱的知識，將是一件很棒的事情。我很好奇，於是我們邀請安迪在我的幾何研討會上作報告，之後我們共進了晚餐。

我問他們，這些具有零裡奇曲率的緊凱勒流形是否可以用於物理學，得到的回答是否定的。但這些我費心構建的優雅的幾何結構，怎麼可能不被大自然認可呢？我想我會等到比他們兩位思想更加開放包容的物理學家。

1984 年，我去聖地亞哥探親，前往我妻子的辦公室，窗外就是蔚藍的大海。我打電話給我的秘書安德伍德女士，詢問普林斯頓高等研究院那邊是否有事情需要處理。她告訴我，有兩位年輕人正到處找我。於是我打電話給安迪，他迫切地希望知道我在 1981 年告訴他的事兒是否屬實。他詳細說明了他需要的流形的條件。當我確認那正是我所發現的條件時，他興奮不已。

很快，我又接到了加里·霍洛維茨和愛德華·威滕（Edward Witten）的電話。威滕剛剛被普林斯頓高等研究院聘用，不久前他剛剛給出了正質量猜想的新證明。他想知道有多少這樣的流形存在？我告訴他，據我所知大概有三個，但可能還有更多。他激動得第二天就飛到了聖地亞哥。我們聊了一整天，我向他解釋了許多這樣流形的不同構造。當他離開時，他告訴我，這幾天的美好時光讓他聯想到了量子力學初創時情景。當創造嶄新的學科時，任何貢獻都將被載入史冊。

四位偉大的物理學家（坎德拉斯、霍洛維茨、施特羅明格和威滕）共同撰寫了一篇開創性的論文，爲弦理論構建了一個美麗的模型。他們將該模型中的流形稱爲卡拉比-丘流形。我非常感謝他們賦予我這一榮譽。一段時間之後，我覺得彷彿卡拉比已經成爲了我的名字，當然這也意味着，這個模型取得了巨大的成功。

可以公平地說，如果沒有弦論學家的工作，我們對卡拉比-丘流形的理解會大打折扣，它恰恰是代數幾何中非常重要的一類流形。另一方面，如果沒有數學家的參與，弦論學家也不會如此信心滿滿的推進這個嶄新的理論。

在過去的四十年中，我們見證了數學和物理之間的美妙合作，就像 18、19 世紀的偉大科學家們一樣。

1985 年春天，位於芝加哥的美國阿貢國家實驗室召開了一次非常重要的會議。理論物理界的知名學者幾乎悉數到場。我受邀作報告，講述了這些六維流形的拓撲型可能是有限的，但肯定超過一萬個,這難免讓聽衆感到有些失望。

無論如何，我構建了一個歐拉數等於 的卡拉比-丘流形。這是個不錯的結果，意味着有三個費米子家族，正與人們在自然界觀察到的現象一致。與此同時，我與烏倫貝克合作，完成了關於穩定向量叢上存在厄米特-楊振寧-米爾斯聯絡（Hermitian Yang-Mills Connections）的工作。對於這個十分自然的結構，我告訴威騰（Edward Witten），它將對弦論具有重要的意義。他否定了我的想法。一年之後，他完成了一篇關於異構弦理論中這種向量叢的意義的論文。這類向量叢對於代數幾何也很重要。

凱勒-愛因斯坦度量、厄米特-楊振寧-米爾斯聯絡的引入，可以視爲現代幾何分析的一個主要應用:代數幾何中的非線性分析。部分推論到現在也還無法通過傳統代數幾何方法達到，因爲它很多時候只處理有限維的對象。兩個主要的例子是，球商代數流形的陳數刻畫，以及射影平坦代數叢的陳數刻畫。

四十年過去了，凱勒-愛因斯坦度量、厄米特-楊振寧-米爾斯聯絡仍然是實現這些結果的唯一方法。我認爲，主要原因是代數方法仍然難以處理具有無限基本羣的代數流形。

此後，奈傑爾·希欽（Nigel Hitchin）引入了希格斯場的概念。與厄米特-楊振寧-米爾斯理論結合，成爲研究模空間方面問題的有效的工具，卡洛斯·辛普森（Carlos Simpson）的工作印證了這一點。希格斯場背後的分析基本上與厄米特-楊振寧-米爾斯場相同。弦論對於數學的第一個主要影響是鏡對稱的看法。

有一次，我的博士後布萊恩·格林（Brian Greene）來到我的辦公室，講述了與卡姆朗·瓦法（Cumrun Vafa）的學生羅恩·佈雷斯（Ron Plesser） 的共同發現，讓我大吃一驚。基於共形理論，瓦法和其他學者提出了卡拉比-丘流形集合中存在對稱性的可能性。格林、佈雷斯通過卡拉比-丘流形的具體示例意識到了這種可能性。菲利普·坎德拉（Philip Candela）及其團隊隨後給出了詳細的計算。

它將霍奇理論，特別是閉鏈的週期，與枚舉幾何聯繫了起來，開闢了枚舉幾何這一經典學科的新方向。對這一進展，我感到非常興奮，開始投入弦論的數學方面的研究。坎德拉及其團隊所得到的公式，爲三維 5 次超曲面上的度數爲 的有理曲線提供了一個很好的計數公式。這些曲線的計數與 5 次超曲面的量子上同調有關。

我還記得與瓦法、格林一起討論這種新構造出來的上同調，他們問我叫什麼合適。我開玩笑說，爲了引人注目，就叫做量子上同調吧。這個名字被保留了下來，有些人甚至一度視之爲最高機密。爲了得到這個公式，代數幾何學家努力了一個多世紀，只找到了當度數小於 3 時的公式。因此坎德拉團隊得到的公式令人驚豔。

幾年之後，紀梵塔爾（Alexander Givental）以及連文豪-劉克峰-丘成桐三人組分別給出了坎德拉斯公式的嚴格證明。（物理學家的推論更像是一種直覺，數學家並不認爲它得到了驗證）。這給予鏡像對稱這一觀念極大的信心。鏡像對稱是弦理論中非常基本的對稱性。接下來，我們可以對於更難以理解的概念進行詳細的計算。與此同時，第二次弦論革命展開，膜在其中扮演了重要角色。我受邀參加位於意大利的裡雅斯特的國際理論物理中心舉行的一次大型會議。我試圖瞭解最新進展，他們卻十分神秘。威騰問我，某些特殊類別的膜是否自然。他指的是卡特琳·貝克-梅蘭妮·貝克-安迪·斯特羅明格（Katrin Becker -Melanie Becker-Andy Strominger）提出的超對稱膜。

這些極小子流形既美麗，也十分自然。（後來發現，瑞茜·哈維（Reese Harvey）和布萊恩·勞森（H. Blaine Lawson）幾年前就發現了這類幾何對象，且稱之爲特殊拉格朗日閉鏈。）它們並非由全純的對象所定義。我認爲這應當與卡拉比-丘鏡像流形的有趣幾何對象有關。

薩斯勞（Eric Zaslow）是我在哈佛時的博後，我們一起討論了這種對偶性的意義。三維特殊拉格朗日閉鏈的對偶對象都是代數的。點是最基本的代數閉鏈，有趣的特殊拉格朗日閉鏈自然是一個特殊拉格朗日環面。彼時，斯特羅明格從加州大學聖巴巴拉分校來訪問我，我們聯手合作被稱爲 SYZ 計劃的研究，來解釋鏡像對稱，這項工作直至今日仍然具有影響力。一年之後，樑迺聰（Conan Leung）, 馬克·格羅斯（Mark Gross）， 理查德·托馬斯（Richard Thomas）來訪，也爲這項工作做出了重要貢獻。

我的朋友希欽有一篇關於這些特殊週期鏈空間的文章，非常優美。文章讓我們對於鏡像的構造有了更加強烈的期望，當然仍然有許多細節需要補充。這讓我們想到了韋依猜想（André Weil Conjecture），它制定了大綱。儘管人們已經確定了幾個重要問題，但以格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）爲代表的一大批傑出數學家，花費二十年時間才得以完成韋依猜想的主要部分。

稍早於我們，孔採維奇（Maxim Kontsevich）運用不同的方法，即通過導出範疇的方法提出了一種比較代數的方式來解釋鏡像對稱。另一方面，深谷賢治（Kenji Fukaya）發展了深谷範疇，成爲辛幾何中的重要概念。我的學生樑迺聰帶領了一批學者進一步發展了這些想法。馬克·格羅斯（Mark Gross）和貝恩德·西伯特（Bernd Siebert）提出了更爲宏大的代數幾何方案以理解 SYZ 猜想的構造。

基於特殊拉格朗日閉鏈穩定性的概念，我和托馬斯證明了存在特殊的拉格朗日閉鏈。同時，我和細野信步（Shinobu Hosono）、連文豪給出了一種適用於一般卡拉比-丘流形的鏡像公式，並發展了證明這一公式的方法。薩斯勞和我建立了一個計算四次曲面上有理曲線的數量的公式，以經典模形式表達。這是模形式第一次出現在枚舉幾何中。計算更高虧格的代數曲線是由瓦法和他的朋友們開創的。目前，仍然沒有好的公式來表達計數函數。我和山口哲（Satoshi Yamaguchi）找到了更緊湊的公式，表明它們在某種方式上是代數的。

然而，無論丘-薩斯勞公式，還是山口哲-丘公式，最初並非是以最嚴格的方式發現的。但在衆多數學家的努力之下，它們最終被證明是有效的，並催生了有趣的研究方向。目前，我仍然在幾何分析領域探索。其中一個重要方向是擬局部質量，這在廣義相對論中一直是一個重大的問題。我先後和學生劉秋菊、王慕道一起合作進行這項研究。我認爲我和王慕道的工作捕捉到了引力的意義。但當區域位於黑洞內部時，這仍然是個神秘的領域。王慕道、陳泊寧、王業凱進一步推進了這項工作，解決了廣義相對論中定義角動量這一古老的問題。

我與哥倫比亞大學畢業的幾個年輕數學家，包括亞當·雅各布（Adam Jacob）, 西爾弗斯坦（Silverstein）和特里斯坦·科林斯（Tristan Collins），繼續研究超對稱楊振寧-米爾斯方程。這個問題引發了許多幾何學家、數學物理學家的關注。我認爲這個研究方向的未來是光明的。

在過去三十年中，我也做了一些應用數學問題的研究，其中一個重要問題是我與弟弟丘成棟共同完成的非線性濾波的研究。我們找到了首個有效的計算非線性濾波的方法。對於線性濾波而言，卡爾曼（Rudolf Emil Kálmán）完成了基礎性工作，線性濾波有着廣泛的應用。但在真實世界濾波是非線性的，當人們做線性近似時，計算結果往往是錯誤的。我希望丘-丘濾波將在工業界具有更大的影響。

九十年代末，曼福德（David Mumford）離開哈佛，他的學生顧險峰留在哈佛大學計算機科學系。我成爲了他的導師，並建議他使用共形幾何或黎曼曲面理論來處理計算機圖形。它們在處理具有複雜拓撲結構的曲面時非常有效。

目前爲止，我們在 1998 年提出的共形方法已成爲計算機圖形學包括醫學領域的一個常用工具。雷樂銘（Ronald Lui）做我的博士後期間，我指導他用準共形方法，該方法比顧-丘提出的原始共形方法更加靈活。隨後，林文偉和他的學生們進行了其他方法的研究，包括使用保面積和保體積的方法。以上均對醫學成像非常有幫助。

最近，人工智能蓬勃發展，使得最優傳輸方法變得熱門起來，這促使我和顧險峰重新翻閱了過去我與鄭紹遠一起完成的與實蒙日-安培方程相關的仿射幾何方面的研究成果。我們開發了流形學習方法。對數學家來說，人工智能是個有趣的課題。大約三十年前，金芳蓉（Fan Chung）還在貝爾實驗室工作時，曾經訪問我，從那之後我開始研究圖論。我們致力於圖的譜方面的研究。

我們還與亞歷山大·格里高利巖（Alexander Grigor'yan）及其學生一起工作，也很有趣，因爲我們在流形上的大部分工作，在圖中都有對應物。我建議格里高利巖、林勇和穆拉諾夫·尤里（Muranov Yuri）根據圖的路徑研究圖的一種特殊上同調。事實證明，這種上同調對生物學和材料學都非常有用。

回顧往昔，我很慶幸自己選擇了數學家這個職業，也很慶幸我的父母毫無保留支持我的想法。我的太太和兩個孩子十分理解我，容忍我時常出差參會、訪問朋友。我的大部分工作源於合作，感謝我研究道路上的所有合作者，這些年來我獲得的所有榮譽同樣也屬於他們。■

翻譯：牛芸、王一婷、張妍審覈：盛茂、李逸

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10. 丘成桐、孫理察：微分幾何講義

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