巨巨巨簡單！人人都能懂的微積分原理輕鬆入門

微分到底是什麼？在我們初學微積分的時候必然會遇到這個問題，人的大腦具有一種能力，即在看到某些文字時能夠聯想到相應的形象。例如，當看到“小狗”這兩個字時，閉上眼睛我們就能想到只屬於自己的小狗的形象。此時此刻，當聽到微分這個詞時，你可能還想不起來任何具體的形象。

沒關係，我們可以跟着《螞蟻微積分》這本書的主角，藉助小小的螞蟻，將微積分的核心概念和原理用最簡單、最有趣、最容易理解的方式呈現出來。輕鬆入門微積分。

來源 | 《螞蟻微積分：超簡單超有趣的微積分入門》

作者 |[韓]張志雄

譯者 | 李光哲

求螞蟻所感知的山的傾斜度

小學學過的九九乘法口訣是一種基礎的數學工具，能夠快速計算出同一個數的連加。微分概念和九九乘法口訣一樣，也是一種數學工具。那麼，微分究竟是什麼呢？

解釋微分概念的方法有很多種。爲了便於理解，我們需要做幾個想象實驗。在這些想象實驗中，將會出現虛擬的螞蟻。我們就把這隻虛擬的螞蟻叫作“微分螞蟻”吧！在故事中加入微分螞蟻，是爲了從視覺上簡單易懂地表示“點”這一幾何學概念。

想象一下，在上面的圖像中找一個點，並對這個點及其附近的區域進行放大，如下圖所示。

在我們所要研究的點上，總會有微分螞蟻陪伴我們。接下來要出場的微分螞蟻的形狀如下，它的大小相當於一個點，它能夠在各種圖像上自由移動，幫助我們研究微分。

本書將出現以上 3 種微分螞蟻，分別是普通微分螞蟻、箭頭微分螞蟻和 GPS 微分螞蟻，它們各有特點。本書將根據故事情節的需要選擇適合的微分螞蟻登場。故事的開始由最簡單的普通微分螞蟻拉開帷幕。

微分螞蟻想象實驗

想象一下，有一座像下圖一樣的山，山上有一隻微分螞蟻正在爬行。與這座山相比，這隻虛擬的微分螞蟻非常小。微分螞蟻雖然在山上爬行，但是它並不知道山的整體形狀。不過，這隻微分螞蟻具有感知山的傾斜度的能力。

當微分螞蟻從 A 點出發，經過 B 點，最終到達山頂 C 點時，微分螞蟻在這 3 個位置上感知到的山的傾斜度如下圖所示。

由於微分螞蟻能夠準確地感知它當前所在位置的傾斜度，因此它會覺得 A 點的傾斜度大於 B 點的傾斜度。同時，在登上 C 點的瞬間，微分螞蟻會覺得山是平緩的。可以說，微分螞蟻在各個位置感知到的傾斜度就是微分的概念。從嚴格意義上來說，與“微分”有關的部分是計算相應位置的“切線的斜率”。在與微分相關的各種圖像中，上面的圖像是最典型的。

如上所述，微分與曲線上某一點處的切線斜率有關。在這次想象實驗中，微分螞蟻爬行的山的形狀是一條光滑的曲線。讓我們進一步關注曲線上的 3 個點A、B、C 處切線的斜率。如果從微分螞蟻的角度來看，用微分的概念來描述曲線的形狀，可能的表達方式如下。

在給定曲線的點 A 和點 B 處，切線的斜率均爲正數，點 A 處的切線斜率大於點 B 處的切線斜率。點 C處的切線爲水平線，其斜率爲 0。

這種用斜率描述曲線形狀的方式，就是用微分語言描述曲線的方式。通過微分螞蟻想象實驗，我們可以直觀地理解微分這一數學概念。

微分螞蟻要爬行的山的形狀

在微分故事中，有幾個關鍵要素，其中最重要的是微分螞蟻要爬行的山的形狀。本書所研究的山大致有以下幾種形狀。

微分螞蟻要翻越的山的形狀，我們稱之爲“圖形”。圖形的準確形狀可以利用函數的概念進行研究。微分課程的目標在於：當給定各種函數時，如何找到切線的斜率。本書將爲你更直觀地理解這一過程提供幫助。

畫出普通微分螞蟻感知的切線

一聽到“微分”這個詞，你可能會擔心遇到可怕的算式和特別難的公式。然而，這種擔心其實是沒有必要的。有關微分的算式，最後稍加整理即可得出結果。

調動全身的感官來體會和熟悉微分纔是我們講微分螞蟻的故事的目的。在前面，我們把微分的概念理解爲，當微分螞蟻被放在給定函數上時，它所感知的傾斜度。簡而言之，微分是對切線的研究。只要完全拋開算式，親自動手畫各種切線，你就能直接感受微分的概念。

請使用鉛筆在普通微分螞蟻所在的位置處畫切線。微分螞蟻在曲線上移動時感知的傾斜度

當微分螞蟻分別位於上述圖像的 3 個點上時，請使用鉛筆在相應的點處畫切線。

切線的大致形狀如上圖所示。如果給定一個圖像，我們可以在大腦中想象“某一點”處的切線，並用可視化的方式將其呈現出來。這隻需要一支鉛筆即可完成。在上圖中，我們任意選擇了 3 個點並畫出了切線。如果說微分是找到切線的正確方法，那麼在上圖中特定的 3 個點 A、B、C 處畫切線，相當於對其進行微分。如下圖所示，我們可以利用函數 f、函數上的點和該點處的切線來表示這種情形。

微分螞蟻正在爬行的圖像可以視爲某個給定函數的圖像。這意味着，微分螞蟻位於函數上，函數是微分的研究對象。在這個函數圖像上，回顧一下任意 3個點 A、B、C 處的切線。對某個函數求微分，意味着可以在任意點處找到切線。也就是說，無論微分螞蟻位於函數圖像的哪一點，都能夠在該位置處找到切線。我們再思考一下這些切線的斜率（微分螞蟻感知的傾斜度）。通過微分，我們可以知道切線的斜率。在上面的圖像中，點 A 處的切線斜率小於點 B 處的切線斜率，點 C 處的切線斜率大於點 B 處的切線斜率。在從點 A 到點 B，再到點 C 的位置變化過程中，切線的斜率呈遞增的趨勢。

這樣的說明就是利用微分語言描述函數的方式。當然，目前我們是在完全脫離公式的情況下，僅用一支鉛筆直接在函數圖像上畫切線來求微分，因此無法求出切線的準確斜率。不過，我們可以據此推測出切線斜率的變化趨勢。

微分螞蟻在直線上移動時感知的傾斜度微分螞蟻可以在任何函數圖像上爬行。如果要對某個函數求微分，只需將微分螞蟻放在自己想研究的位置上進行思考即可。微分螞蟻的故事中出現的大部分函數圖像是曲線。不過，也不一定非得是曲線，它有可能是一條直線。將微分螞蟻放在直線上的情形反而更特別。我們來看下圖。

當微分螞蟻在某條直線上爬行時，試想一下“微分”。此時，微分螞蟻覺得直線上所有點的傾斜度（切線的斜率）都是一樣的。因爲直線的斜率本身就是微分螞蟻感知的傾斜度，切線的斜率也就是直線的斜率。

在上圖中，直線的斜率都是正數。有時，直線的斜率也可能爲負數，如下圖所示。

在上圖中，直線的斜率均爲負數。同樣，微分螞蟻所感知的傾斜度與直線的斜率完全相等。最後，讓我們來思考一下微分螞蟻在水平線上爬行的情形。請看下圖。

水平線的斜率爲 0。因此，當微分螞蟻在上圖的水平線上爬行時，它所感知的傾斜度爲 0。也就是說，如果對水平線求微分，其結果爲 0。

通過親自動手繪製不同情形下的切線，我們對微分有了直觀的感覺。只要有一支鉛筆，我們就能夠在給定函數的某點處畫出切線，從而感知微分。

跟着 GPS 微分螞蟻學微分

在普通微分螞蟻身上安裝全球定位系統（GPS），普通微分螞蟻就變成了 GPS 微分螞蟻。因此，當它在圖像上移動時，可以實時接收它的座標 (x, y)。GPS 微分螞蟻可以利用接收到的座標值計算斜率，並將其顯示在屏幕上。

假設我們要在函數 f(x) 上求 B 點處的微分。想象有一條過點 B 的切線，GPS 微分螞蟻正在該切線上移動。GPS 微分螞蟻在經過點 A 和點 B 時，能夠通過 GPS 準確接收點 A 的座標 (x₁, y₁)和點 B 的座標 (x₂, y₂)。它利用這些信息計算出了該切線的斜率，如下所示。

計算得出的斜率值會顯示在 GPS 微分螞蟻背部的屏幕上。因爲我們還沒有學過計算微分的具體方法，所以需要親自動手畫切線，並通過微分螞蟻感知的傾斜度來理解微分。有關微分的所有具體計算，暫且都交給 GPS 微分螞蟻來完成。我們的重點是藉助 GPS 微分螞蟻以多種方式瞭解微分的特點。

GPS 微分螞蟻想象實驗

我們可以通過二次函數 y=x² 來了解微分的概念。

上圖是二次函數 y=x²的圖像，它關於 y 軸對稱，開口向上。我們將 GPS 微分螞蟻放在圖像的任意點處，然後開始做一個想象實驗。

GPS 微分螞蟻能夠接收到當前所處位置的座標，並在屏幕上顯示出座標 (2, 4)。如果要求點 (2, 4) 處的微分，目前唯一的方法是在該點處直接畫切線。畫出切線後，讓 GPS 微分螞蟻在切線上移動。GPS 微分螞蟻在切線上每移動一步，都能夠準確地確定自己的位置。

如上圖所示，GPS 微分螞蟻在切線上顯示的座標是 (1.14, 0.56)。現在，GPS 微分螞蟻可以計算出切線的斜率。因爲已經知道兩個點的座標分別是 (2, 4) 和(1.14, 0.56)，所以切線的斜率是

。在這裡，4 既是切線的斜率，又是在點 (2, 4) 處求微分的結果。也就是說，我們可以用 4 這一特定的數值來描述 GPS微分螞蟻在點 (2, 4) 處所感知的傾斜度。

通過 GPS 微分螞蟻，我們終於知道了傾斜度的準確數值，不用再以“大、小”等模糊概念來描述傾斜度。由此可見，GPS 微分螞蟻能夠告訴我們具體的微分結果。請利用這一結果思考下面的問題。

當點 (2, 4) 處切線的斜率爲 4 時，其關於 y 軸對稱的對稱點 (-2, 4) 處的切線斜率是多少呢？

回想一下圖像的形狀，即使沒有 GPS 微分螞蟻，我們也能立刻想到點 (2, 4) 關於 y 軸對稱的對稱點 (-2, 4) 處的切線斜率。答案是 -4，因爲該圖像關於 y 軸對稱。

綜上所述，如果在函數 y=x²的圖像上有某一點和該點關於 y 軸對稱的對稱點，那麼我們可以同時思考這兩點處的切線。只要在某一點處的切線斜率前加上負號（ -），就是其關於 y 軸對稱的對稱點處的切線斜率。

如果我們對函數的特點和微分的概念有這種正確的理解，那麼我們就能夠輕鬆地找到切線的斜率。微分的研究對象是函數。如果在瞭解函數特點的基礎上求微分，那麼我們就能夠對微分結果進行驗證。

例如，在函數 y=x²中，如果在 x >0 的區域內求微分的結果爲負數，那麼這個計算結果肯定是錯誤的。在尚未完全掌握函數特點的情況下，僅通過計算來求微分，即使出現了失誤也無法進行驗證。由此可見，要想正確地求微分，必須先理解給定的函數。

簡單二次函數的微分

微分是指微分螞蟻在某條曲線上的任意點處所感知的傾斜度。從 GPS 微分螞蟻的虛擬微分工具確認的結果來看，通過計算也可以得到切線的斜率。

現在，我們來思考一下利用 GPS 微分螞蟻對簡單的多項式函數上的所有點求微分的原理。當然，所有的計算都交給 GPS 微分螞蟻來完成，我們只聚焦於原理。

我們先對大家熟知的二次函數 y=x² 求微分。

讓 GPS 微分螞蟻從點 (0, 0) 出發，依次經過二次函數y=x² 上的點 (1, 1)、(1.5, 2.25)、(2, 4)、(2.5, 6.25)。GPS 微分螞蟻會計算每個點處的切線斜率，並將每個點處的切線斜率都顯示在其背部的屏幕上，如下圖所示。

因爲具體的計算工作已經交給 GPS 微分螞蟻來完成，所以我們只需對這一結果進行分析即可。對微分結果進行整理，結果如下表所示。

上表顯示了二次函數上 5 個特定點處的切線斜率。各點處的切線斜率被稱爲微分系數。例如，點 (1, 1) 處的微分系數爲 2，點 (2.5, 6.25) 處的微分系數爲 5。需要再次強調的是，微分系數表示的是特定點處的微分結果。

由於y=x² 的圖像關於 y 軸對稱，因此可以對上表進行擴展，加入關於 y 軸對稱的對稱點，如下表所示。

上表中增加了關於 y 軸對稱的對稱點處的微分系數。對於這些點，無須再次求微分，只需將相應的對稱點處的微分系數乘以 -1 即可。現在，我們已經知道了 9 個點處的微分系數。在上表中，已給出的點的 x 座標保持不變，將其微分系數作爲 y 值，組成新的 (x, y)，結果如下表所示。

利用上表中的點 (x, y) 畫出瞭如下圖像。

上述圖像顯示了原函數y=x² 在 9 個特定點處的微分結果，即各個點處的微分系數。然而，由於二次函數y=x² 上不是隻有 9 個點，而是有無數個點，因此需要找出所有點處的微分系數。爲此，我們需要使用一條光滑的直線將上述微分系數的結果連接起來。

最終，我們得到了上述圖像。由此可以推測，所有微分系數的值都位於上述直線上。

綜上所述，在特定點處，切線的斜率被稱爲微分系數，將所有點處的微分系數集合起來繪製而成的圖像，其對應的函數被稱爲導函數。準確地說，上述圖像是直線 y =2x 的圖像。也就是說，如果對二次函數y=x²求微分，其結果爲 y =2x，此時將 y =2x 稱爲 y=x² 的導函數。

普通微分螞蟻和 GPS 微分螞蟻使用不同的語言，我們運用微分語言來描述二次函數y=x²的圖像形狀。

普通微分螞蟻認爲y=x²的圖像是山的形狀，並且它能夠感知每個點處的傾斜度。

普通微分螞蟻對y=x² 的圖像形狀的描述如下。

即使普通微分螞蟻不瞭解微分這一數學概念，也能夠做出上述這樣的描述。GPS 微分螞蟻使用更具體的語言對y=x²的圖像形狀進行描述。

綜上所述，GPS 微分螞蟻的語言能夠準確地描述相應位置的微分系數，因爲它使用的是微分語言。作爲微分學習者，我們應該使用與 GPS 微分螞蟻一樣的描述方式。除了使用 GPS 微分螞蟻的語言，我們還需要分析通過 GPS 微分螞蟻獲得的大量數據，做

到用一句話簡潔明瞭地進行說明，如“y=x² 的導函數是 y =2x”。這纔是微分語言呈現出來的簡潔明瞭的描述方式。

上文轉自圖靈編輯部，節選自《螞蟻微積分：超簡單超有趣的微積分入門》，【遇見數學】已獲轉發許可。

《螞蟻微積分：超簡單超有趣的微積分入門》

作者：[韓]張志雄 譯者：李光哲

本書不僅是要講述“微分知識”，更是要與你分享“微分”的故事。我打算用故事這個最生動的方式，通過閱讀本書的時候，能讓你在輕鬆愉快的氛圍中理解微積分。記得小時候，奶奶講故事總是從“很久很久以前”開始，不管故事有多長，都能緊緊抓住我們的注意力，清清楚楚地印在我們的腦子裡，最後我們還能講給其他小夥伴聽。