調和級數——自然真理是如何隱藏在數字中的，永遠不要相信直覺

如果你看看下面的表達式：

你可能會想知道，一直加下去會得到怎樣的結果。後面的數字不斷變小，直到它可以忽略不計。你可能想知道它是否仍然對總和有貢獻。

這個表達式被稱爲 "調和級數"。N項調和級數的值是1到N倒數的和。

前五項（N=5）是：

那麼，前100項、前1000項、前100萬項、前100億項是多少？它們是否收斂於一個值？

讓我們來計算這些：

由此可見，調和級數增長得非常慢，在10億次之後，只能達到21.3004，之後增長速度越來越慢。它實際上需要：

15092688622113788323693563264538101449859497項才能超過100。那麼，它最終會去哪裡？它是 "停 "在某個具體的值上，還是繼續增長？

讓我們看看其他級數是否會收斂到某個數值上。例如，讓我們看一下平方的倒數：

我且稱它爲 "平方級數"，它其實沒有官方的名字。事實上，這個級數確實收斂，收斂到（π^2）/6（=1.644934）。

這被稱爲 "巴塞爾問題"，它確立了萊昂哈德-歐拉在數學界的地位，因爲他用非常簡潔的方法解決了這個問題。

你可能會對 "π"的出現感到驚訝。這裡出現的π^2有很多 "原因"，沒有單一的答案。這更像是說水爲什麼是藍色的。水首先不是藍色的，天空是藍色的，這本身與你自己的眼睛有很大關係，也與複雜的電磁力和其他物理學有很大關係。

歸根結底，所有這些都與宇宙的真理相聯繫，但有幾種方法可以將這些真理連結成一個解釋。基本上，一個 "無限長的線 "的問題可以被轉換爲一個 "無限大的圓 "的問題。雖然圓的長度和直徑變得無限大，但它們的比率保持不變：π。

“平方級數” ：

趨近於 "某數 "的原因是相當容易理解的，不需要藉助於一些更復雜的力學。

我們看看另一個級數：

其中分母按照1，2，6，12，20，......的順序排列，即：

並注意兩個事實：

現在，只要消去這些項，你就會看到這個最終變成了2。

因此，通過結合上面的兩個事實，你可以確定 "平方級數 "是比2小的正數。這意味着它（平方級數）收斂到比2小的數值上。

現在，讓我們在調和級數上嘗試同樣的方法。我們先把它改寫爲：

括號內的每項都大於等於1/2。所以，整個級數比（1/2）n要大，當n無窮大時，級數也是無窮大的。

由於調和級數以1/N的速度增長，這讓人很容易想起自然對數函數，它也是以1/x的速度增長（這個速度隨着x越來越大而不斷減慢）。

自然對數函數表示e的幾次冪才能得到x的函數。雖然對數函數的增長速度非常慢，需要超過10^434項才能達到1000。但它確實是發散的。

調和級數就像對數函數的一個的兄弟，只是把 "e "而不是 "10 "作爲其指數。另外，讓數字 "10 "出現在這裡比數字 "π "或 "e "更瘋狂。

現在，有三個關於調和級數的奇怪事實。

歐拉-馬斯克若尼常數（The Euler-Mascheroni constant）

首先，看一下調和級數和對數函數的圖像。它們之間有一個差值，在無窮遠處，這個差異會變成一個特定的數字。

這個數字是歐拉-馬斯克若尼常數，它是0.5772156649....

這個數字是否是無理數甚至是超越數（超越數的意思是，它是否可以成爲某個涉及x的冪的方程的解），這是數學中最懸而未決的謎團之一。許多數學家認爲，以我們目前的條件，永遠也解決不了這個問題！

歐拉-馬斯克若尼常數是一個相當不直觀的數字，出現在許多結果中。它似乎說明了自然數的“粒度”性，因爲它們與實數的連續性相違背。

目前還不清楚物理宇宙中一些更 "奇特 "的數字（例如精細結構常數）是否與之有某種關係，這可能會加重物理學家的負擔，但對我來說，我寧願希望它們有根本的聯繫。

交變調和級數

關於調和數列的另一個奇怪的事實是交變調和級數。

相當奇怪的是，這個級數確實收斂（到ln 2）。

這可能不直觀，但是，如果你重新排列這些級數項，實際上可以改變結果。例如，如果改寫：

爲：

並計算出這個級數，總和也會是原來的一半。注意我們沒有剔除任何一項，只是重新排列了它們。

事實上，有可能以這樣的方式重新排列交變調和級數，可以用它的無限之和來表示任何數字。只是項的排列最終會對最後的結果產生影響。

當涉及到無窮大時，不要相信你的直覺。

缺失的數字

如果你“剔除”調和級數中出現的一些數字，就會發生一些意想不到的事情。讓我們來看看，如果我們剔除所有分母中含有 "3 "的數字會發生什麼：

我們剔除了1/3和1/13這兩個項，因爲它們的分母中有一個 "3"。如果我們計算這個級數的值，會發現在這種情況下，這個級數確實收斂了。

事實上，如果我們按照任何模式剔除數字（無論我們剔除的數字中含有 "4"，還是含有 "5876846 "字符串的數字，任何模式），剔除足夠多的數字，調和級數將不再發散到無窮大，而是很快收斂到非常小的數字。

我希望你能好好想想這個問題：如果我們把所有分母中有“989078748629”的數字都去掉（不管你能想到什麼數字），剔除足夠多的項，級數將不再趨於無窮。

正如你所看到的，調和級數的發散性是相當脆弱的，有稍微的變動，級數就不再收斂。因此，永遠不要相信你自己的直覺！你的直覺是什麼？