愛因斯坦如何證明勾股定理？

之前一位up主在視頻中爆料：某教材中記載愛因斯坦使用質能方程證明了勾股定理。

視頻一出，輿論譁然，許多人爭先恐後的嘲笑出版社。實際上，愛因斯坦的確在11歲的時候就通過一種很巧妙的方法證明了勾股定理。你知道他是怎麼做的嗎？今天我就來介紹一下。

勾股定理可能是平面幾何中最重要的一個定理了。

在一個直角三角形中，短直角邊是a，長直角邊是b，斜邊是c，則

中國古代典籍《周髀算經》中記載：公元前1000多年，商高與周公的對話中，就談到了這個定理，我國古人把直角三角形的的短直角邊叫做“勾”，長直角邊叫做“股”，把斜邊叫做“弦”，因此，這個定理就被稱爲勾股定理了。

不過《周髀算經》中並未明確記載這個定理的證明方法。直到三國時期的數學家趙爽在《周髀算經注》中才給出了明確的證明，稍後會爲大家解釋這個證明。

西方一般認爲最早提出勾股定理的人是古希臘的畢達哥拉斯，所以這個定理又叫做畢達哥拉斯定理。可惜，畢達哥拉斯的方法也失傳了。流傳下來的最早的證明是歐幾里得在《幾何原本》中給出的。這個證明方法稍顯複雜，這裡就不爲大家展示了。

目前，勾股定理有400多種證明方法，同學們至少應該掌握一種方法。比如，趙爽的證明方法就非常簡潔優美。他將四個直角三角形的直角邊拼在一起，形成了一個大正方形，稱之爲弦圖。

這個大正方形的邊長爲弦長c，所以大正方形的面積爲

大正方形又是由一個小正方形（邊長b-a），四個直角三角形構成的，所以面積應該等於：

如此一來，聯立兩個等式，得到

多麼漂亮的證明啊！

說回到今天的主題：愛因斯坦是如何證明勾股定理的呢？

1949年，愛因斯坦在回憶起自己的童年時，感謝了父母給自己做的科學啓蒙，例如在愛因斯坦四五歲的時候， 父母就送給他一個指南針。他幼小的心靈第一次被自然的魅力衝擊，萬物的背後彷彿都被一股神秘的力量控制着。愛因斯坦第一次產生了揭示萬物規律的想法。

11歲時，愛因斯坦獲得了一本幾何書。有一天，愛因斯坦的叔叔用這本書給愛因斯坦講解勾股定理的證明，愛因斯坦覺得這個證明太複雜了！爲什麼不自己提出一種更加簡潔的方法呢？

愛因斯坦首先從直角頂點向直角三角形斜邊做了一條垂線，將三角形分成了兩個小部分橘紅色部分1和綠色部分2，然後再將原來三角形標記爲3。

顯然，兩個小三角形的面積之和等於大三角形的面積。下一步，將1、2、3三個三角形排成一排，並且以它們的斜邊爲邊做出三個正方形，這三個正方形的邊長就分別是a、b、c，面積就分別爲a²、b²、c².

由於這三個圖形是形狀完全一樣，只是大小不同的，數學上稱之爲相似。所以，在每一個圖形中，三角形部分與方形部分的面積比應該是相同的。設這個面積比爲m，則三個三角形的面積就分別是ma²、mb²、mc².

現在見證奇蹟的時刻到了：前兩個三角形本來就是從後一個大三角形中分割出來的，所以前兩個三角形的面積和等於第三個三角形的面積，於是：

將比例係數約掉，得到：

證明完畢。

在證明過程中，愛因斯坦巧妙的使用了相似、維度等數學方法，將長度的關係轉化爲面積的比例，這足以體現愛因斯坦高超的數學技巧。不過值得注意的是：證明過程中，m僅僅是三角形面積與正方形面積的比例係數，與質量毫無關係，c表示三角形斜邊，也與光速無關。因此這個證明過程與質能方程沒有一毛錢的關係。不過，在15年之後，26歲的愛因斯坦又利用m和c這兩個字母組成了物理學上最優美的方程，難道冥冥之中早有預示？